Question

在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，cosA=

5

5

，sinB=

3 10

10

．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据同角三角函数基本关系，利用sinA，cosB求得cosA，sinB，进而利用两角和公式求得cos（A+B）．
（Ⅱ）由（1）可求得A+B的值，进而求得C，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵A，B，C为锐角，sinA=

1-cos2A

=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

，cosB=

1-sin2B

=

1-( 3 10 10 )2

=

10

10

；
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

5

5

×

10

10

-

2 5

5

×

3 10

10

=-

2

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜A+B＜π，A+B=

3π

4

，∴C=

π

4

由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，可得c=

asinC

sinA

=

4× 2 2

2 5 5

=

10

∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×4×

10

×

3 10

10

=6

点评：本题主要考查了两角和公式，同角三角函数基本关系，正弦定理等知识点．考查了考生综合运用所学知识解决实际问题的能力．