题目内容

(2010•福建模拟)(1)选修4-2:矩阵与变换
如图,矩形OABC的顶点O(0,0)、A(-2,0)、B(-2,-1)、C(0,-1).将矩形OABC绕坐标原点O旋转得到矩形OA1B1C1;再将矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换,得到平行四边形OA1B2C2,且点C2的坐标为(
3
,1).求将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵.
分析:先根据矩形OA1B1C1是矩阵OABC绕原点O旋转180°得到的求出A1,B1,C1的坐标,再根据矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换得到平行四边形OA1B2C2,且点C2的坐标为(
3
,1)求出点B2的坐标,最后利用待定系数法建立等式,解之即可.
解答:解:因为矩形OA1B1C1是矩阵OABC绕原点O旋转180°得到的,
所以A1(2,0),B1(2,1),C1(0,1)
又矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换得到平行四边形OA1B2C2,且点C2的坐标为(
3
,1)
所以点B2的坐标为(
3
+2
,1)
设将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对于的矩阵为
ab
cd

ab
cd
 
0
-1
=
3
1
ab
cd
 
-2
-1
=
3
+2
1

所以
-b=
3
-d=1
-2a-b=
3
+2
-2c-d=1

a=-1
b=- 
3
c=0
d=-1
,因此所求矩阵为
-1-
3
0-1
点评:本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、分类与整合思想,属于基础题.
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