Question

（2010•福建模拟）某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列动作的情况如下表：
表1：甲系列

动作	K动作		D动作
得分	100	80	40	1-
概率	3 4	1 4	3 4	1 4

表2：乙系列

动作	K动作		D动作
得分	90	50	20	0
概率	9 10	1 10	9 10	1 10

现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分
（Ⅰ）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；
（Ⅱ）若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）若运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列，选择甲系列最高得分为100+40=140＞115，可能获得第一名；
而选择乙系列最高得分为90+20=110＜115，不可能获得第一名，记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，则P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

，记“该运动员获得第一名”为事件C，根据P（C）=P（AB）+P（

.

A

B）从而求出该运动员得第一名的概率；
（II）若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（I）若运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列
理由如下：
选择甲系列最高得分为100+40=140＞115，可能获得第一名；
而选择乙系列最高得分为90+20=110＜115，不可能获得第一名．
记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，
则P（A）=

3

4

，P（B）=

3

4

记“该运动员获得第一名”为事件C．
依题意得P（C）=P（AB）+P（

.

A

B）=

3

4

×

3

4

+

1

4

×

3

4

=

3

4

∴该运动员得第一名的概率为

3

4

．
（II）若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50，70，90，110，
则P（ξ=50）=

1

10

×

1

10

=

1

100

，P（ξ=70）=

1

10

×

9

10

=

9

100

，
P（ξ=90）=

9

10

×

1

10

=

9

100

，P（ξ=110）=

9

10

×

9

10

=

81

100

，
ξ的分布列为

ξ	50	70	90	110
P	1 100	9 100	9 100	81 100

∴Eξ=50×

1

100

+70×

9

100

+90×

9

100

+110×

81

100

=104

点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及相互独立事件的概率乘法公式，同时考查了计算能力，属于中档题．