Question

已知：在函数f（x）=mx³-x的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（3）求证：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)（x∈R，t＞0）．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=mx³-x，可求出f'（x）的解析式，根据以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

，构造方程可以求出m的值，进而求出n值，
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数的解析式，由于f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，我们可以求出x∈[-1，3]的最大值，进而确定满足条件的k值；
（3）方法一：根据（1）中函数的解析式，根据三角函数的值域和基本不等式，我们分别求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和2f(t+

1

2t

)的最小值，比照后即可得到答案．
方法二：根据（2）的结论，我们可以确定出函数的单调性，结合绝对值的性质和基本不等式，利用函数的单调性可以结论．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²-1，依题意，得f'（1）=tan

π

4

，即3m-1=1，m=

2

3

．…（2分）
∵f（1）=n，∴n=-

1

3

．…（3分）
（2）令f'（x）=2x²-1=0，得x=±

2

2

．…（4分）
当-1＜x＜-

2

2

时，f'（x）=2x²-1＞0；
当-

2

2

＜x＜

2

2

时，f'（x）=2x²-1＜0；
当

2

2

＜x＜3时，f'（x）=2x²-1＞0．
又f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f（3）=15．
因此，当x∈[-1，3]时，-

2

3

≤f(x)≤15．…（7分）
要使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1993=2008．
所以，存在最小的正整数k=2008，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立．…（9分）
（3）方法一：|f（sinx）+f（cosx）|=|(

2

3

sin3x-sinx)+(

2

3

cos3x-cosx)|=|

2

3

(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|=|(sinx+cosx)[

2

3

(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|=|sinx+cosx|•|-

2

3

sinxcosx-

1

3

|=

1

3

|sinx+cosx|3=

1

3

|

2

sin(x+

π

4

)|3≤

2 2

3

．…（11分）
又∵t＞0，∴t+

1

2t

≥

2

，t2+

1

4t2

≥1．
∴2f(t+

1

2t

)=2[

2

3

(t+

1

2t

)3-(t+

1

2t

)]=2(t+

1

2t

)[

2

3

(t2+

1

4t2

)-

1

3

]≥2

2

(

2

3

-

1

3

)=

2 2

3

．…（13分）
综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)（x∈R，t＞0）．…（14分）
方法二：由（2）知，函数f（x）在[-1，-

2

2

]上是增函数；在[-

2

2

，

2

2

]上是减函数；在[

2

2

，1]上是增函数．
又f(-1)=

1

3

，f(-

2

2

)=

2

3

，f(

2

2

)=-

2

3

，f(1)=-

1

3

．
所以，当x∈[-1，1]时，-

2

3

≤f(x)≤

2

3

，即|f(x)|≤

2

3

．
∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f(sinx)|≤

2

3

，|f(cosx)|≤

2

3

．
∴|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤

2

3

+

2

3

=

2 2

3

．…（11分）
又∵t＞0，∴t+

1

2t

≥

2

＞1，且函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴2f(t+

1

2t

)≥2f(

2

)=2[

2

3

(

2

)3-

2

]=

2 2

3

．…（13分）
综上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+

1

2t

)（x∈R，t＞0）．…（14分）

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，直线的倾斜角，其中根据已知条件，求出函数的解析式，并分析出函数的性质是解答本题的关键．