题目内容

已知:在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为
(1)求m,n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:(x∈R,t>0).
【答案】分析:(1)由函数f(x)=mx3-x,可求出f'(x)的解析式,根据以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为,构造方程可以求出m的值,进而求出n值,
(2)由(1)中结论,我们可以求出函数的解析式,由于f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立,我们可以求出x∈[-1,3]的最大值,进而确定满足条件的k值;
(3)方法一:根据(1)中函数的解析式,根据三角函数的值域和基本不等式,我们分别求出|f(sinx)+f(cosx)|的最大值和的最小值,比照后即可得到答案.
方法二:根据(2)的结论,我们可以确定出函数的单调性,结合绝对值的性质和基本不等式,利用函数的单调性可以结论.
解答:解:(1)f'(x)=3mx2-1,依题意,得f'(1)=,即3m-1=1,.…(2分)
∵f(1)=n,∴.…(3分)
(2)令f'(x)=2x2-1=0,得.…(4分)
时,f'(x)=2x2-1>0;
时,f'(x)=2x2-1<0;
时,f'(x)=2x2-1>0.
,f(3)=15.
因此,当x∈[-1,3]时,.…(7分)
要使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立,则k≥15+1993=2008.
所以,存在最小的正整数k=2008,使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立.…(9分)
(3)方法一:|f(sinx)+f(cosx)|======.…(11分)
又∵t>0,∴
==.…(13分)
综上可得,(x∈R,t>0).…(14分)
方法二:由(2)知,函数f(x)在[-1,]上是增函数;在[]上是减函数;在[,1]上是增函数.

所以,当x∈[-1,1]时,,即
∵sinx,cosx∈[-1,1],∴
.…(11分)
又∵t>0,∴,且函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
.…(13分)
综上可得,(x∈R,t>0).…(14分)
点评:本题考查的知识点是不等式的证明,导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,直线的倾斜角,其中根据已知条件,求出函数的解析式,并分析出函数的性质是解答本题的关键.
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