Question

10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，（x≤1）}\\{\frac{a}{x}-a，（x＞1）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上减函数，那么a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{7}$，1）

Answer 1

分析 由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a-1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．

解答 解：依题意，有a＞0且3a-1＜0，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$，
又当x≤1时，（3a-1）x+4a＞7a-1，
当x＞1时，$\frac{a}{x}$-a＜0，
因为f（x）在R上单调递减，所以7a-1≥0解得a≥$\frac{1}{7}$
综上：$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．