题目内容

设函数.
(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设,若对任意,有,求的取值范围.

(1)详见解析;(2).

解析试题分析:(1)利用零点存在定理说明在区间内存在零点,然后利用函数的单调性来说明零点的唯一性;(2)先确定函数的解析式,将问题等价转化为“上的最大值与最小值之差”,对二次函数的对称轴与区间的位置关系来进行分类讨论,从而求解出实数的取值范围.
试题解析:(1)当时,
在区间内存在零点,
又当时,
在区间是单调递增的,在区间内存在唯一的零点;
(2)当时,
对任意都有等价于上的最大值与最小值之差
据此分类讨论如下:
(i)当时,即时,,与题设矛盾!
(ii)当,即时,恒成立;
(iii)当,即时,.
综上所述,.
考点:1.零点存在定理;2.分类讨论

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