Question

已知{a_n}、{b_n}为两个数列，其中{a_n}是等差数列，且a₂=4，a₈=16．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

=2n-3，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式列出关于a₁，d的方程组，求出 a₁，d 后即可求出数列{a_n}的前n项和S_n ；
（2）在（1）的结果S_n=n²+n  得出a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=（n²+n）（2n-3），a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n+a_n+1b_n+1=[（n+1）²+（n+1）][2（n+1）-3]，两式相减得到a_n+1 b_n+1=6n²+4n-2．，再除以a_n+1，求出b_n+1=3n-1 即当n≥2时，bn=3n-4，再考虑n=1情形，做出最后解答．

解答：解：（1）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知，

a1+d=4 a1+7d=16

解得a₁=2，d=2，∴a_n=2n，S_n=n²+n
（2）由已知

a1b1+a2b2+…+anbn

Sn

=2n-3，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n²+n）（2n-3）①
a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n+a_n+1b_n+1=[（n+1）²+（n+1）][2（n+1）-3]②
②-①得a_n+1 b_n+1=6n²+4n-2．而a_n+1=2n+2，
∴b_n+1=3n-1，当n≥2时，bn=3n-4，
又n=1时，b₁=2×1-3=-1，也适合上式
∴b_n=3n-4．

点评：本题考查数列的通项公式求解，等差数列的前项和计算，考查转化、构造、计算能力．