Question

6．已知等差数列{b_n}满足b₁=1，b₄=7．设c_n=$\frac{1}{bnbn+1}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得b_n，可得c_n，由裂项相消法和不等式的性质可得．

解答 证明：∵等差数列{b_n}满足b₁=1，b₄=7，
∴b_n=1+（n-1）$\frac{7-1}{3}$=2n-1，
∴c_n=$\frac{1}{bnbn+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$，
∵0＜$\frac{1}{n}$≤1，∴2＜2+$\frac{1}{n}$≤3，∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$＜$\frac{1}{2}$

点评 本题考查数列求和公式的裂项相消法，涉及不等式的性质，属中档题．