题目内容
椭圆
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知Q(x,y)为椭圆上任意一点,求以Q为切点,椭圆的切线方程.
(3)设点P为直线x=4上一动点,过P作椭圆两条切线PA,PB,求证直线AB过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】分析:(1)先由题意可得,△EFG为边长是
,高为c=1的等边三角形.利用三角函数知识得出
,从而求得a值,最后写出椭圆的标准方程;
(2)设以Q为切点的切线方程的斜率为k,再分类讨论:
①若y>0,设
,利用导数的几何求得切线的斜率进而得出切线方程;
②若y<0,设
,同理可得切线方程为
;
③若y=0,则Q(2,0),切线方程为x=2,亦满足
,综上所述,得出切线方程.
(3)设点P(4,t),切点A(x1,y1),B(x2,y2),由(2)可知两切线方程PA,PB的方程,同去利用P点在切线PA,PB上,得到
为AB的直线方程,从而问题解决.
解答:解:(1)由题意可得,△EFG为边长是
,高为c=1的等边三角形.
,故
,而c=1,所以
椭圆的标准方程为
(3分)
(2)设以Q为切点的切线方程的斜率为k,
①若y>0,设
,
则
,
由于Q(x,y)在椭圆上,故
,
即
∴
此时切线方程为
,整理得:
将
代入,得
(6分)
②若y<0,设
,
则
,
由于Q(x,y)在椭圆上,故
,
即
∴
于是与①同理可得切线方程为
(8分)
③若y=0,则Q(2,0),切线方程为x=2,亦满足
综上所述,切线方程为
(9分)
(3)设点P(4,t),切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由(2)可知两切线方程PA,PB分别为
,
(11分)
P点在切线PA,PB上,故P(4,t)满足
,
得:
,
故A(x1,y1),B(x2,y2)均满足方程
,
即
为AB的直线方程.(13分)
中,
令y=0,则x=1,故AB过定点(1,0),题得证.(14分)
点评:本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系,导数的几何意义等基本知识,考查运算能力和综合解题能力.解题时要注意运算能力的培养.


(2)设以Q为切点的切线方程的斜率为k,再分类讨论:
①若y>0,设

②若y<0,设


③若y=0,则Q(2,0),切线方程为x=2,亦满足

(3)设点P(4,t),切点A(x1,y1),B(x2,y2),由(2)可知两切线方程PA,PB的方程,同去利用P点在切线PA,PB上,得到

解答:解:(1)由题意可得,△EFG为边长是




椭圆的标准方程为

(2)设以Q为切点的切线方程的斜率为k,
①若y>0,设

则


由于Q(x,y)在椭圆上,故

即


此时切线方程为


将


②若y<0,设

则


由于Q(x,y)在椭圆上,故

即


于是与①同理可得切线方程为

③若y=0,则Q(2,0),切线方程为x=2,亦满足

综上所述,切线方程为

(3)设点P(4,t),切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由(2)可知两切线方程PA,PB分别为


P点在切线PA,PB上,故P(4,t)满足


得:


故A(x1,y1),B(x2,y2)均满足方程

即


令y=0,则x=1,故AB过定点(1,0),题得证.(14分)
点评:本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系,导数的几何意义等基本知识,考查运算能力和综合解题能力.解题时要注意运算能力的培养.

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