Question

已知函数f(x)=-x³+ax²+b(a，bÎR)。

（1）是否存在实数使函数f(x)在R上是单调函数？

（2）若xÎ[0，1]，函数y=f(x)上任意一点切线的斜率为k，讨论|k|£1的充要条件。

Answer 1

答案：
解析：

解（1）∵ f(x)=-x3+ax2+b  ∴ f¢(x)=-3x2+2ax ∴ f¢(x)不可能恒大于0，若-3x2+2ax£0恒成立，则a=0，故当a=0，bÎR时函数f(x)在R上是单调减函数。 （2）当xÎ[0，1]时，k=f¢(x)=-3x2+2ax，由题意得：-1£-3x2+2ax£1，xÎ[0，1] 即对任意xÎ[0，1]，|f¢(x)|£1等价于|f¢(0)|£1，|f¢(1)|£1，满足： 或 或即或或 所以。即|k|£1的充要条件是。