题目内容
设.
(Ⅰ)若对一切
恒成立,求
的取值范围;
(Ⅱ)设,且
是曲线
上任意两点,若对任意的
,直线AB的斜率恒大于常数
,求
的取值范围;
(Ⅲ)求证:.
(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)详见解析
解析试题分析:(Ⅰ)
∴对一切
恒成立等价于
恒成立.
这只要求出函数的最小值即可.
(Ⅱ)直线的斜率为:
由题设有,不妨设
则
这样问题转化为函数,在
上单调递增
所以恒成立,即对任意
,
恒成立
这样只需求出的最小值即可.
(Ⅲ)不等式可变为
由(Ⅰ) 知 (
时取等号),在此不等式中
取得:
变形得:
取得:
变形得:
取得:
变形得:
取得:
变形得:
将以上不等式相加即可得证.
试题解析:(Ⅰ)
令,则
由得
.所以
在
上单调递增,
在
单调递减.
所以
由此得:
又时,
即为
此时
取任意值都成立
综上得:
(II)由题设得,直线AB的斜率满足:,
不妨设,则
即:
令函数,则由以上不等式知:
在
上单调递增,
所以恒成立
所以,对任意,
恒成立
又=
故
(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号),
取,
得
即 累加得
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