题目内容
在数列中,对于任意,等式成立,其中常数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求证:数列为等比数列;
(Ⅲ)如果关于n的不等式的解集为,求b和c的取值范围.
【答案】
(Ⅰ)解:因为,
所以,,
解得 ,. ………………………… 3分
(Ⅱ)证明:当时,由, ①
得, ②
将①,②两式相减,得 ,
化简,得,其中. ………………… 5分
因为,
所以 ,其中. ………………………… 6分
因为 为常数,
所以数列为等比数列. …………………… 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅱ),得, ……………………… 9分
所以
, 11分
又因为,
所以不等式化简为,
当时,考察不等式的解,
由题意,知不等式的解集为,
因为函数在R上单调递增,
所以只要求 且即可,
解得; …………………… 13分
当时,考察不等式的解,
由题意,要求不等式的解集为,
因为,
所以如果时不等式成立,那么时不等式也成立,
这与题意不符,舍去.
所以,. ………………………… 14分
【解析】本试题主要是考查了数列通项公式的运用,以及数列与不等式的综合运用。
(1)因为,
所以,,
解得 ,.
(2)采用整体的思想,作差法得到通项公式的表示,进而得到结论。
(3)由(Ⅱ),得, ……………………… 9分
所以
然后求和化简得到。
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