Question

已知圆C过点M（5，2）、N（3，2），且圆心在直线y=2x-3上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求圆C过点P（4，4）的最短弦所在的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由M与N的坐标求出直线MN的方程，求出直线MN垂直平分线的方程，因为MN为圆中的弦，故圆心必然在直线MN的垂直平分线上，所以把直线MN垂直平分线的方程与已知直线联立组成方程组，求出方程组的解得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到M的距离即为圆的半径，根据圆心与半径写出圆的标准方程即可；
（Ⅱ）过P最短的弦所在直线即为与直径垂直的弦所在的直线，故由圆心C和P的坐标得到直径所在直线CP的方程，根据两直线垂直时满足的关系即可得到所求直线的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵M（5，2）、N（3，2），
∴直线MN的方程为：y=2，又弦MN的中点坐标为（4，2）
∴弦MN的垂直平分线方程为：x=4，
与直线方程y=2x-3联立解得：y=5，
∴圆心C的坐标为（4，5），
又半径|CM|==，
则圆C的方程为：（x-4）²+（y-5）²=10；  （6分）

（Ⅱ）∵直径所在的直线CP的方程为x=4，
∴圆C过点P（4，4）的最短弦所在的直线方程为：y=4．   （12分）
点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：中点坐标公式，两直线垂直时满足的关系，以及垂径定理，要求学生会根据圆心坐标及半径写出圆的标准方程，第二问要求学生掌握过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为过该点直径垂直的弦．