题目内容
3.已知平面直角坐标系内,动点P(a,b)到直线l1:y=$\frac{1}{2}$x和l2:y=-2x的距离之和是4,求$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值.分析 设动点P(a,b)到直线l1:y=$\frac{1}{2}$x的距离为m,到直线l2:y=-2x的距离为n,则m+n=4,利用基本不等式,即可得到$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值.
解答 解:设动点P(a,b)到直线l1:y=$\frac{1}{2}$x的距离为m,到直线l2:y=-2x的距离为n,则m+n=4,
∵m2+n2≥2mn,
∴2(m2+n2)≥(m+n)2=16,
∴m2+n2≥8
∵直线l1:y=$\frac{1}{2}$x和l2:y=-2x垂直且过原点,
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$,
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值为:2$\sqrt{2}$.
点评 本题考查了点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
13.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23,样本点的中心(5,6.2),则回归直线方程为( )
A. | y=1.23x-0.05 | B. | y=1.23x+0.05 | C. | y=1.23x+6.2 | D. | y=1.23x+5 |