题目内容

已知椭圆E： $数学公式$ （a，b＞0）与双曲线G：x²-y²=4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且 $数学公式$ ？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．

解：（1）由双曲线G：x²-y²=4，得焦点 $\text{[math]}$ ，顶点（±2，0）．
∵椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，∴ $\text{[math]}$ =8，c²=2²=4，∴b²=8-4=4．
∴椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²=r²，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且 $\text{[math]}$ ．
当切线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+t，与椭圆的两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立 $\text{[math]}$ ，消去y得到关于x的方程（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，
必须满足△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-8）＞0，即8k²+4＞t²（*）．
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（**）
∵直线l与圆x²+y²=r²，∴ $\text{[math]}$ ，化为t²=r²（1+k²）．①
∵ $\text{[math]}$ ，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t．
代入上式得 $\text{[math]}$ ，
把（**）代入上式得 $\text{[math]}$ ，
化为3t²=8（k²+1），②满足（*）式．
由①②可得 $\text{[math]}$ ．
因此此时存在满足条件的圆为 $\text{[math]}$ ．
当切线l的斜率不存在时，也满足上述方程．
综上可知：存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²= $\text{[math]}$ ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用椭圆、双曲线的标准方程与性质即可得出；
（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²=r²满足条件，利用直线与椭圆相交得到根与系数的关系，再利用直线与圆相切的性质及垂直与数量积的关系即可得出．
点评：熟练掌握椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与椭圆相交得到根与系数的关系、直线与圆相切的性质、垂直与数量积的关系是解题的关键．