题目内容

已知椭圆E： $数学公式$ （a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为 $数学公式$ ，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为 $数学公式$ ，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ≤ $数学公式$ • $数学公式$ ≤ $数学公式$ ，求k的取值范围．

解：（Ⅰ）∵离心率为 $\text{[math]}$ ，∴a=2c，b= $\text{[math]}$ c．
∵△ABF的面积为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴c=1
∴a=2，∴ $\text{[math]}$
∴椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与 $\text{[math]}$ 联立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴k的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，可得a=2c，b= $\text{[math]}$ c，利用△ABF的面积为 $\text{[math]}$ ，可求c=1，从而可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设方程为y=k（x-1）与 $\text{[math]}$ 联立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韦达定理，求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，即可求得k的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，直线与椭圆联立，利用韦达定理是解题的关键．