题目内容

定义运算a⊕b=a²+2ab-b²，记函数f（x）=sinx⊕cosx
（Ⅰ）已知 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求f（θ）的值；
（Ⅱ）在给定的直角坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内的简图；
（Ⅲ）求函数f（x）的对称中心、最大值及相应的x值．

解：（Ⅰ）由题意可得 $\text{[math]}$ -----（2分）
∴ $\text{[math]}$ --------（5分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，运用“五点法”先列表后描点连线，

$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	π	$\text{[math]}$	2π
x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	0

作出函数f（x）在一个周期内的图象如下，

（10分）
（Ⅲ）∵函数y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），且当 $\text{[math]}$ 时，y_max=1
令 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴函数f（x）的对称中心为 $\text{[math]}$ -------（12分）
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ -------（14分）
分析：（Ⅰ）由新定义可得函数的解析式，代入化切后计算可得答案；（Ⅱ）由五点法，列表、描点，连线可得图象；（Ⅲ）函数y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），且当 $\text{[math]}$ 时，y_max=1，把 $\text{[math]}$ 整体代入解之可得答案．
点评：本题考查五点作图，涉及同角三角函数的基本关系和正弦函数的对称性，属中档题．