Question

（本题满分12分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(+f(x₂)=f(x₁)，且当x＞1时，f(x)＜0.

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性并加以证明；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)>-2.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(1)=0.（2）函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

（3）{x| -9<x＜0或0<x＜9}.

【解析】本试题主要是考查了函数的单调性和不等式的解集，

（1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0.

（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,则＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,

所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),

（3）由题意有f=f(x₁)-f(x₂)，则f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2进而求解不等式。

解 （1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0. ……………………3分

（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,则＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,

所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),

所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.……………………7分

（3）由题意有f=f(x₁)-f(x₂)，则f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. ………………9分由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，

由f(|x|)>f(9),得|x|<9,∴-9<x＜9. ……………………11分

又因为|x|>0,因此不等式的解集为{x| -9<x＜0或0<x＜9}.……………………12分