题目内容
【题目】设函数,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,讨论函数
与
图象的交点个数.
【答案】(1)当时,函数
的单调增区间是
,无减区间;当
时,函数
的单调增区间是
,减区间是
.(2)函数
有唯一零点,
【解析】
试题分析:(1)先求导数,再在定义区间内研究导函数零点:当
时,
,当
时,由一个零点
,最后列表分析导函数符号确定单调区间(2)先构造函数
,求导数
,研究导函数零点:当
时,一个零点;当
时,两个相同零点;当
时,两个不同零点,列表分析对应区间导函数符号,确定单调性,最后利用零点存在定理说明零点个数
试题解析:⑴解:函数的定义域为
,
,
当时,
,所以函数
的单调增区间是
,无减区间;
当时,
;当
时,
,函数
的单调递减;当
时,
,函数
的单调递增.
综上:当时,函数
的单调增区间是
,无减区间;当
时,函数
的单调增区间是
,减区间是
.
⑵解:令,问题等价于求函数
的零点个数,--5分
当时,
,有唯一零点;当
时,
当时,
,函数
为减函数,
注意到,
,所以
有唯一零点;
当时,
或
时
,
时
,所以函数
在
和
单调递减,在
单调递增,注意到
,
,所以
有唯一零点;
当时,
或
时
,
时
,
所以函数在
和
单调递减,在
单调递增,意到
,
所以,而
,所以
有唯一零点. -11分
综上,函数有唯一零点,即两函数图象总有一个交点.
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