Question

已知f（x）满足g（x）=（x+1）f（x）=x²+mx+10，且g（-

7

2

+x）=g（-

7

2

-x）
（1）求m的值     
（2）求当x＞-1时，求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）根据g（-

7

2

+x）=g（-

7

2

-x），可得g（x）的对称轴为x=-

7

2

，从而可求m的值；
（2）f（x）=

(x+1)2+5(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+5，因为x＞-1，所以x+1＞0，利用基本不等式可求f（x）的最小值，从而可求f（x）值域．

解答：解：（1）∵g（-

7

2

+x）=g（-

7

2

-x）
∴g（x）的对称轴为x=-

7

2

     …（2分）
∵g（x）=x²+mx+10的对称轴为x=-

m

2

∴-

m

2

=-

7

2

∴m=7        …（4分）
（2）∵g（x）=（x+1）f（x）=x²+7x+10
∴f(x)=

x2+7x+10

x+1

=

(x+1)2+5(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

+5    …（8分）
∵x＞-1 
∴x+1＞0，

4

x+1

＞0
∴f(x)≥2

4

+5=9   …（10分）
当且仅当x=1时，f（x）取最小值为9            …（11分）
故f（x）值域为[9，+∞）                        …（12分）

点评：本题以二次函数为载体，考查二次函数的性质，考查基本不等式的运用，解题的关键是恰当变形，构建满足基本不等式的条件．