Question

如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．
（I）求证：∠BOC=∠ODA；
（II）若AD=OD=1，过D点作DE垂直于BC，交BC于点E，且DE交OC于点F，求OF：FC的值．

Answer 1

分析：（I）先根据条件得到∠2+∠3=90°以及∠1+∠2=90°；即可得到结论．
（II）先结合条件得到△AOD为等边三角形，∠1=60°；进而得到△BCD为等边三角形且DE⊥BC，再结合AB∥DE，即可得到答案．

解答：解：（I）如图：连接BD，
因为CB，CD是圆的两条切线，
所以：BD⊥OC，
∴∠2+∠3=90°．
又AB为圆的直径，又∠1=∠ODA，
∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°；
∴∠1=∠3，
∴∠BOC=∠ODA．
（II）∵AO=OD=1，
则AB=2，BD=

3

．且△AOD为等边三角形，∠1=60°．
又∠3=∠1=60°，OB=1，则OC=2．
∴BC=DC=

3

，则△BCD为等边三角形．其中DE⊥BC，则BE=EC．
又AB∥DE，则OF=FC，即OF：FC=1：1．

点评：本题主要考察弦切角的应用以及等边三角形的应用．解决本题第二问的关键在于等边三角形知识在解题中的应用．