题目内容

如图，A，B两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ．
（1）当ξ≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

解：（1）∵1+1+4=1+2+3=6，∴P（ξ=6）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵1+2+4=2+2+3=7，∴P（ξ=7）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵2+2+4=1+3+4=8，∴P（ξ=8）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵2+3+4=9，∴P（ξ=9）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴线路信息畅通的概率是 $\text{[math]}$ ．
（2）ξ=4，5，6，7，8，9
∵1+1+2=4，∴P（ξ=4）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵1+1+3=1+2+2=5，∴P（ξ=5）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
ξ的分布列为

ξ	4	5	6	7	8	9
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴线路通过信息量的数学期望=4× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ +6× $\text{[math]}$ +7× $\text{[math]}$ +8× $\text{[math]}$ +9× $\text{[math]}$ =6.5
分析：（1）由题意知通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．线路信息通畅包括四种情况，即通过的信息量分别为9，8，7，6，这四种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到结果．
（2）ξ的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，结合变量对应的事件和等可能事件的概率及互斥事件的概率，得到变量的概率，即可求出通过信息总量ξ的分布列和数学期望
点评：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望．概率、期望的计算是经常考查的内容，排列、组合知识是基础，掌握准确的分类和分步是解决概率问题的奠基石．属中档题．