Question

（本题满分12分）
已知动圆过点，且与圆相内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，D，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）圆，圆心的坐标为，半径.
∵，∴点在圆内.        
设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，
即.                                              
∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为
, 则.∴.
∴所求动圆的圆心的轨迹方程为. …………………………………4分
(2)由 消去化简整理得：
设，，则……………………………………6分
△. ①
由 消去化简整理得：.
设，则,
△. ② ……………………………………8分
∵，∴，即，
∴.∴或.解得或……… 10分                                                                  
当时,由①、②得 ，
∵Z,，∴的值为 ，，;
当，由①、②得 ，
∵Z,，∴.
∴满足条件的直线共有9条．………………………………………………12分

解析