题目内容
函数f（x）=3sin（kx+
）+1（k＞0）的最小正周期为T，且T∈（1，3）
（1）求实数k的范围；
（2）若k∈N+，当k取最小值时，①求函数f（x）的最大值及相应的x的取值集合；②求函数f（x）的对称中心．
| π | 3 |
（1）求实数k的范围；
（2）若k∈N+，当k取最小值时，①求函数f（x）的最大值及相应的x的取值集合；②求函数f（x）的对称中心．
分析：（1）根据周期T=
∈(1，3)，可得
＜k＜2π，由此求得k的范围．
（2）k∈N+，所以kmin=3，且 f(x)=3sin(3x+
)+1，①当3x+
=2nπ+
，n∈Z，f（x）max=4．②令3x+
=nπ，n∈Z，求得x=
-
，n∈Z，从而得到函数f（x）的对称中心．
| 2π |
| k |
| 2π |
| 3 |
（2）k∈N+，所以kmin=3，且 f(x)=3sin(3x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| nπ |
| 3 |
| π |
| 9 |
解答：解：（1）因为T=
∈(1，3)，…（2分）
所以
＜k＜2π，即k的范围是 （
，2π）．…（1分）
（2）k∈N+，所以kmin=3，…（2分）
f(x)=3sin(3x+
)+1，
①当3x+
=2nπ+
，n∈Z，即{x|x=
+
，n∈Z}时，…（2分）
f（x）max=4．…（1分）
②令3x+
=nπ，n∈Z，x=
-
，n∈Z，…（2分）
即函数f（x）的对称中心是(
-
，1)，n∈Z．…（2分）
| 2π |
| k |
所以
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（2）k∈N+，所以kmin=3，…（2分）
f(x)=3sin(3x+
| π |
| 3 |
①当3x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2nπ |
| 3 |
| π |
| 18 |
f（x）max=4．…（1分）
②令3x+
| π |
| 3 |
| nπ |
| 3 |
| π |
| 9 |
即函数f（x）的对称中心是(
| nπ |
| 3 |
| π |
| 9 |
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、对称性和最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目