Question

已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M（4，-4）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线方程，代入点的坐标，即可求抛物线的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程代入抛物线方程，求出弦长，利用|AB|=8，即可求直线l的方程．

解答：解：（1）由已知可令所求抛物线的方程为y²=2px（p＞0），而点M（4，-4）在抛物线上，则16=8p，所以p=2，故所求抛物线方程为y²=4x；
（2）由（1）知F（1，0）．
若直线l垂直于x轴，则A（1，2），B（1，-2），此时|AB|=4，与题设不符；
若直线l与x轴不垂直，可令直线l的方程为y=k（x-1），再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

，消去y可得k²x²-2（k²+2）+k²=0，于是x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
则|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

4(1+k2)

k2

=8，解得k=±1，
从而，所求直线l的方程为y=±（x-1）．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．