题目内容

已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值.
(Ⅱ)若曲线与直线有两个不同的交点,求的取值范围.
(Ⅰ)求两个参数,需要建立两个方程。切点在切线上建立一个,利用导数的几何意义建立另一个,联立求解。(Ⅱ)利用导数分析曲线的走势,数形结合求解。
因为,所以.
(Ⅰ)因为曲线在点处与直线相切,
所以
解得.
(Ⅱ)由,得.
的情况如下:


0


-
0
+


1

所以函数在区间上单调递减,在区间单调递增,是函数的最小值.
时,曲线与直线最多只有一个交点.
时,
所以,存在,使得.
由于函数在区间均单调,所以时,曲线与直线有且仅有两个交点.
【考点定位】本题考查导数的计算、切线方程、导数的应用,故考查了运算求解能力.讨论直线和曲线的交点个数,故考查了分类讨论思想的应用.
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