Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式f（x）≤5x+1；
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对x分类讨论，即可求得不等式f（x）≤5x+1的解集；
（2）利用g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R，可知f（x）+m=0在R上无解（或f（x）+m＞0在R上恒成立）即可求得f（x）_min，从而使问题得以解决．

解答：解：（1）原不等式等价于：

x＜ 1 2 9x≥3

①或

1 2 ≤x≤ 3 2 1≤5x

②或

x＞ 3 2 x≥-5

③，
解①得：

1

3

≤x＜

1

2

；
解②得：

1

2

≤x≤

3

2

；
解③得：x＞

3

2

；
因此不等式的解集为{x|x≥

1

3

}；
（2）由于g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R
∴f（x）+m=0在R上无解，
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2即f（x）_min=2，
∴-m＜2，即m＞-2．
∴实数m的取值范围（-2，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，对x分类讨论是关键，考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题．