题目内容
【题目】已知函数(为自然对数的底数).
(1)求函数的零点,以及曲线在其零点处的切线方程;
(2)若方程有两个实数根,求证:.
【答案】(1)零点为;;;(2)见解析.
【解析】
(1)由题意可得函数的零点为,,求导后,求出,,再求出,利用点斜式即可求得切线方程;
(2)利用导数证明、,设,由函数单调性可知、,利用即可得证.
(1)由,得或,所以函数的零点为,,
因为,所以,.
又因为,
所以曲线在处的切线方程为,
在处的切线方程为;
(2)证明:因为函数的定义为,,
令,则,所以即单调递减,
由,,
所以存在,使得在上单调递增,在上单调递减;
不妨设,且,,
令,,
记,则,
令,则,
所以单调递增,且,
故在单调递减,在单调递增,
所以,即;
记,则,
所以单调递增,且,故在单减,在单增.
则,即;
不妨设,
因为,且为增函数,所以.
由,得;
同理,;
所以.
所以,
所以.
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