题目内容
已知函数f(x)=2sinxcosx+2| 3 |
| 3 |
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当x∈(0，
| π |
| 2 |
（3）若f(x0) =
| 2 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：利用辅助角公式可得f（x）=sin2x+
cos2x+2=2sin（2x+
）+2
（1）令2x+
=
+kπ可得对称轴方程为：x=
+
，k∈Z
（2）由x∈(0，
)可得2x+
∈(
，
)，从而可得∴2sin(2x+
)+2∈(-
+2，4]
而函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解，可转化为y=f（x）与y=-m有交点，结合图象可得-m∈(-
+2，4]，
m∈[-4，
-2)
（3）由已知可得sin(2x0+
)=-
，结合x0∈(
，
)可求cos(2x0+
)，而sin2x0=sin[(2x0+
)-
]利用两角差的正弦公式可求
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）令2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| kπ |
| 2 |
（2）由x∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
而函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解，可转化为y=f（x）与y=-m有交点，结合图象可得-m∈(-
| 3 |
m∈[-4，
| 3 |
（3）由已知可得sin(2x0+
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+
cos2x+2=2sin（2x+
）+2（3分）
令2x+
=
+kπ可得：x=
+
，k∈Z，
∴对称轴方程为：x=
+
，k∈Z，．（4分）
（2）∵x∈(0，
) 2x+
∈(
，
)
∴sin(2x+
)∈(-
，1]
∴2sin(2x+
)+2∈(-
+2，4]（7分）
∵函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解．（8分）
即-m∈(-
+2，4]，m∈[-4，
-2)．（9分）
（3）f(x0)=
即2sin（2x0+
)+2=
+2=
即sin（2x0+
)=-
=-
（10分）
∵x0∈(
，
)
∴2x0+
∈(
，
)
又∵sin(2x0+
)=-
，
∴2x0+
∈(π，
)（11分）
∴cos(2x0+
)=-
（12分）
∴sin2x0=sin[(2x0+
)-
]（13分）
=sin(2x0+
)cos
-cos(2x0+
)sin
=(-
)×
-(-
)×
=
（15分）
| 3 |
| π |
| 3 |
令2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| kπ |
| 2 |
∴对称轴方程为：x=
| π |
| 12 |
| kπ |
| 2 |
（2）∵x∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴sin(2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴2sin(2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
∵函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解．（8分）
即-m∈(-
| 3 |
| 3 |
（3）f(x0)=
| 2 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵x0∈(
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴2x0+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
又∵sin(2x0+
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
∴2x0+
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴cos(2x0+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴sin2x0=sin[(2x0+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=sin(2x0+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=(-
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
=
3
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查 了辅助角公式asix+bcosx=
sin(x+θ)的应用，正弦函数的对称轴的求解，方程与函数的相互转化，利用拆角求解三角函数值，是一道综合性比较好的试题．
| a2+b2 |
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