Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为-的直线与曲线M相交于A，B两点．
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用条件直接代入抛物线的标准方程即可．
（Ⅱ）（i）先求出点A，B的坐标，再把点C设出来，利用△ABC为正三角形对应的|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，看能否求出点C的坐标即可．
（ii）分三种情况分别求当△ABC为钝角三角形时，对应点C的纵坐标的取值范围即可．
解答：解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，
直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y²=4x．
（Ⅱ）（i）由题意得，
直线AB的方程为由
消y得3x²-10x+3=0，解得．
所以A点坐标为，
B点坐标为（3，），．
假设存在点C（-1，y），
使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即①②
由①-②得，
解得．
但不符合①，
所以由①，②组成的方程组无解．
因此，直线l上不存在点C，
使得△ABC是正三角形．
（ii）设C（-1，y）使△ABC成钝角三角形，
由得，
即当点C的坐标为（-1，）时，A，B，C三点共线，
故．
又，
，
．
当|BC|²＞|AC|²+|AB|²，
即，
即时，∠CAB为钝角．
当|AC|²＞|BC|²+|AB|²，
即，
即时∠CBA为钝角．
又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，
即，
即．
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角．
因此，当△ABC为钝角三角形时，
点C的纵坐标y的取值范围是或．
点评：本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．