Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为-

3

的直线与曲线M相交于A、B两点．问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，结合抛物线的定义得动圆圆心的轨迹方程；
（2）联立直线和抛物线方程，求出交点坐标，假设存在C点，使得△ABC为以CA、CB为两腰的等腰三角形，由三角形的边长相等求不出符合题意的C的坐标，从而说明假设错误，得到结论．

解答：解：（1）∵动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，
∴动圆圆心M到定点P（1，0）和到定直线x=-1的距离相等．
∴动圆圆心的轨迹是以P（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，
轨迹方程为y²=4x；
（2）设AB所在直线方程为y=-

3

(x-1)．
由

y=- 3 (x-1) y2=4x

，消去y得：3x²-10x+3=0．
解得：A（

1

3

，

2 3

3

），B（3，-2

3

），
假设存在这样的C点，使得△ABC为以CA、CB为两腰的等腰三角形，
设C（-1，y），则|AC|=|AB|=|BC|，
∴(

1

3

+1)2+(

2 3

3

-y)2=(3-

1

3

)2+(2

3

+

2 3

3

)2①
(3+1)2+(2

3

+y)2=(3-

1

3

)2+(2

3

+

2 3

3

)2②
解①得：y=

2 3

3

±

4 15

3

．
解②得：y=-2

3

±

4 7

9

．
∴满足|AC|=|AB|=|BC|的点C不存在．
∴△ABC不能为正三角形．

点评：本题考查了由抛物线的定义求轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了存在性问题的求解方法，是中档题．