Question

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）设h(x)=ag(x)-f(x)+2ax-

7

2

a，若h(x)≥

1

2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）得到斜率k=f′（1），且过（1，0），写出直线方程即可．因为直线l与g（x）的图象相切联立两个函数解析式，消去y得到一元二次方程，根的判别式=0即可求出m；
（Ⅱ）把g（x）代入到h（x）得a大于一个函数，求出导函数=0时x的值，再根据自变量的取值范围讨论函数的增减性得到函数的最大值，让a大于最大值即可求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切，
由

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

?

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合题意，舍去）
（Ⅱ）∵g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

由h(x)=

a

2

x2-2ax+

7a

2

-lnx+2ax-

7a

2

=

a

2

x2-lnx≥

1

2

恒成立，
得a≥

1+2lnx

x2

(x＞0)恒成立
设?(x)=

1+2lnx

x2

，则?′(x)=

-4lnx

x3

当0＜x＜1时，?′（x）＞0；当x＞1时，?′（x）＜0．
于是，?（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故φ（x）的最大值为?_max（x）=?（1）=1
要使a≥?（x）恒成立，只需a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）

点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，明白导数的几何意义，利用导数求曲线上某点切线方程的能力．