Question

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)的图象也相切．
（I）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函数h（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出直线的l的斜率，然后根据点斜式写出直线l的方程，在联立方程直线l与函的图象也相切g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

，根据△=0，求出m的值；
（Ⅱ）根据（I）可得h（x）=f（x+1）-g'（x），对其求导，令h′（x）=0，先求出极值，然后再求最值．

解答：解：（I）∵直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），
∴f′（x）=

1

x

，∴f（x）|_x=1=1，及直线l的斜率为1，
∴直线l的直线为：y-0=1×（x-1），
∴直线l的方程为：x-y-1=0；
∵直线l与函数g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)的图象也相切，
∴

1

2

x2+mx+

7

2

= x-1，整理方程得：x²+2（m-1）x+9=0，
∴△=4（m-1）²-4×9=0，
∴m=4或-2，
又∵m＜0，
∴m=-2；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）
∴h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当x≥0时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
函数h（x）在x=0处取极大值，也是最大值，
h_max（x）=h（0）=2．

点评：此题主要考查利用导数求某点的切线和利用导数求闭区间上函数的最值，求解的关键是要正确求导，是一道基础题．