题目内容
抛物线
在点
，
处的切线垂直相交于点
，直线
与椭圆
相交于
，
两点．
（1）求抛物线
的焦点
与椭圆
的左焦点
的距离；
（2）设点到直线
的距离为
，试问：是否存在直线
，使得
，
，
成等比数列？若存在，求直线
的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
;（2）不存在.
【解析】
试题分析：（1）分别求出抛物线与椭圆的焦点，利用两点间距离公式求解；（2）设直线
与抛物线相交于
与椭圆相交于
,
,所以直线与抛物线方程联立，得到
和
然后利用
,求出切线
，
的斜率，利用切线垂直，
,解出m,然后分别设出过
点的切线方程，求出交点
的坐标，利用点到直线的距离公式求
,直线与曲线相交的弦长公式求
,若
，
，
成等比数列，则
,化简等式，通过
看方程实根情况.
试题解析：（I）抛物线
的焦点
， 1分
椭圆
的左焦点
， 2分
则
． 3分
（II）设直线，
，
，
，
，
由
，得
， 4分
故
，
．
由
，得
，
故切线，的斜率分别为
，
，
再由
，得
，
即
，
故
，这说明直线
过抛物线
的焦点
． 7分
由
，得
，
,即
． 8分
于是点
到直线
的距离
. 9分
由
，得
， 10分
从而
， 11分
同理，
． 12分
若，，成等比数列，则， 13分
即
，
化简整理，得
，此方程无实根，
所以不存在直线，使得，，成等比数列． 15分
考点：1.椭圆与抛物线的性质；2.导数的几何意义；3.直线与曲线的交点问题；4.弦长公式.
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