Question

（1）求(1+2x－3x²)⁶的展开式中x⁵项的系数;

（2）求(x+2y+3z)⁷的展开式中含x⁴y²z的项的系数.

Answer 1

思路解析：（1）先将1+2x－3x²分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x－3x²)⁶=(1+3x)⁶(1－x)⁶.然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x⁵的系数，问题就可得到解决.根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键.（2）要用分步乘法计数原理.

解：（1）原式=(1+3x)⁶(1－x)⁶，其中(1+3x)⁶展开式的通项为T_k+1=C3^kx^k，(1－x)⁶展开式的通项为T_r+1=C(－x)^r.

原式=(1+3x)⁶(1－x)⁶展开式的通项为CC(－1)r3^kx^k+r.

现要使k+r=5，又∵k∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，

故x⁵项系数为C3⁰C(－1)⁵+C3¹C(－1)⁴+C3²C(－1)³+C3³C(－1)²+C3⁴C(－1)+C3⁵C(－1)⁰=－168.

（2）因为(x+2y+3z)⁷可视为7个x+2y+3z相乘，展开式中含x⁴y²z的项应取4个x，2个2y，1个3z，所以，由分步乘法计数原理知x⁴y²z的系数为C·C2²·C3=1 260.

方法归纳  二项式定理是由两个原理及排列与组合的知识导出的.对于能直接使用定理的情形可转化成二项式定理的形式去求解，也可直接使用两个原理及排列、组合的知识去求解.