Question

【题目】如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述：

①平面；

②四点、、、可能共面；

③若，则平面平面；

④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.

对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：

则且，四边形是矩形，且，为的中点，

为的中点，且，且，

四边形为平行四边形，，即，

平面，平面，平面，命题①正确；

对于命题②，，平面，平面，平面，

若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，

则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.

所以，命题②错误；

对于命题③，连接、，设，则，

在中，，，则为等腰直角三角形，

且，，，且，

由余弦定理得，，

，又，，平面，

平面，，

，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，

平面，平面平面，命题③正确；

对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，

平面平面，平面平面，，平面，

平面，

平面，，

，，，，，

又，平面，平面，.

，平面，平面，.

，，显然与不垂直，命题④错误.

故答案为：①③.