Question

21.设椭圆+y²=1的两个焦点是F₁（－c,0）与F₂（c,0）（c＞0）,且椭圆上存在点P,使得直线PF₁与直线PF₂垂直.

（Ⅰ）求实数m的取值范围;

（Ⅱ）设L是相应于焦点F₂的准线,直线PF₂与L相交于点Q.若=2－.求直线PF₂的方程.

Answer 1

21.本小题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.

解：（Ⅰ）由题设有m＞0,c=,

设点P的坐标为（x₀,y₀）,由PF₁⊥PF₂,得=－1,

化简得x₀²+y=m.                                                      ①

将①与+y₀²=1联立,解得x₀²=,y₀²=.

由m＞0,x₀²=≥0,得m≥1.

所以m的取值范围是m≥1.

（Ⅱ）准线L的方程为x=.设点Q的坐标为（x₁,y₁）,则x₁=.

==.                                     ②

将x₀=代入②,

化简得==m+.

由题设=2－,

得m+=2－，无解.

将x₀=－代入②,

化简得==m－.

由题设=2－,得m－=2－.

解得m=2.

从而x₀=－,y₀=±,c=,

得到PF₂的方程为y=±（－2）（x－）.