题目内容

奇函数 $数学公式$ ，且当x＞0时，f（x）有最小值 $数学公式$ ，又f（1）=3．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=xf（x），正数数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1²=g（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设 $数学公式$ ，数列{b_n}中b₁=m（m＞0），b_n+1=h（b_n）（n∈N^）．是否存在常数m使b_n•b_n+1＞0对任意n∈N^恒成立．若存在，求m的取值范围，若不存在，说明理由．

解（1） $\text{[math]}$ ；
∵是奇函数；
∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
又可知和不能同时为0
故b=0
a+b+1=3c+3d，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
当x＞0时，f（x）有最大值 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）∵g（x）=2x²+1
∴a_n+1²=2a_n²+1?a_n+1²+1=2（a_n²+1）
∴{a_n²+1}为等比数列，其首项为a₁²+1=2，公比为2
∴a_n²+1=（a₁²+1）•2^n-1=2ⁿ∴ $\text{[math]}$
（3）由题 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
假设存在正实数m，对任意n∈N^*，使b_n•b_n+1＞0恒成立．
∵b₁=m＞0
∴b_n＞0恒成立．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
取n＞1+b₁²，即n＞m²+1时，有b_n＜0与b_n＞0矛盾．
因此，不存在正实数m，使b_n•b_n+1＞0对n∈N^*恒成立．
分析：（1）根据f（1）=3，以及f（x）为奇函数可求出b的值，然后根据当x＞0时，f（x）有最小值 $\text{[math]}$ ，可求出c的值，从而求出函数的解析式；
（2）根据a_n+1²=g（a_n）可证得{a_n²+1}为等比数列，其首项为a₁²+1=2，公比为2，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（3）假设存在正实数m，对任意n∈N^*，使b_n•b_n+1＞0恒成立，然后根据放缩法可得 $\text{[math]}$ ，取n＞1+b₁²，即n＞m²+1时，有b_n＜0与b_n＞0矛盾，从而得到结论．
点评：本题主要考查了函数的解析式，以及函数的奇偶性和恒成立问题，同时考查了数列的综合运用，属于中档题．