Question

已知函数f（x）=1-2a^x-a^2x（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值和函数f（x） 的最大值．

Answer 1

解：（1）令t=a^x，则t＞0，∴g（t）=1-2t-t²=-（t+1）²+2
∵t＞0，∴g（t）＜1，即函数f（x）的值域为（-∞，1）；
（2）∵x∈[-2，1]，0＜a＜1，∴t∈[a，]
∴g（t）=1-2t-t²在[a，]上是减函数
∴t=时，g（t）_min=--+1=-7
∴或（舍去）
∴t=时，g（t）有最大值，即g（t）_max=-．
分析：（1）利用换元法，再进行配方，即可求得函数f（x）的值域；
（2）原因，求得函数的单调性，利用函数f（x）的最小值为-7，可求a的值，从而可得函数f（x） 的最大值．
点评：本题考查函数的最值与值域，考查学生的计算能力，属于中档题．