Question

7．已知m∈R，直线l：mx-（m²+1）y=4m和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0
（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；
（Ⅱ）是否存在直线l，使直线l将圆分割成弧长的比值为$\frac{1}{3}$的两段圆弧？若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出直线的斜率利用基本不等式求最值；
（Ⅱ）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形．

解答 解：（Ⅰ）直线l的方程可化为y=$\frac{m}{1+{m}^{2}}$x-$\frac{4m}{{m}^{2}+1}$，
此时斜率k=$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，
即km²-m+k=0，k=0时，m=0成立；
又∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（Ⅱ）能．由（1知l的方程为y=k（x-4），
其中|k|≤$\frac{1}{2}$，
圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2；
圆心C到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由|k|≤$\frac{1}{2}$，得d≥$\frac{4}{\sqrt{5}}$＞1，即d＞$\frac{r}{2}$，
从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于$\frac{2π}{3}$，
所以l能将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{3}$的两段弧．

点评 本题考查直线与圆及不等式知识的综合应用，考查运算能力，属于中档题．