Question

已知向量=（0，x），=（1，1），=（x，0），=（y²，1）（其中x，y是实数），又设向量，，且，点P（x，y）的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|=时，求直线 l 的方程．

Answer 1

解：（1）由已知
，（2分）
∵，∴（4分）
即所求曲线C的方程是：（6分）
（2）由（1）求得点M（0，1）．显然直线l与x轴不垂直．
故可设直线l的方程为y=kx+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（8分）
由，消去y得：（1+2k²）x²+4kx=0，解得．（10分）
由|MN|=，解得：k=±1（12分）
∴所求直线的方程为x-y+1-0或x+y-1=0．（14分）
分析：（1）由已知，，由，能导出所求曲线C的方程．
（2）由点M（0，1），知直线l与x轴不垂直．设直线l的方程为y=kx+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得（1+2k²）x²+4kx=0，由此能得到所求直线的方程．
点评：本题考查直线方程和曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．