Question

把公差为2的等差数列{a_n}的各项依次插入等比数列{b_n}的第1项、第2项、…第n项后，得到数列{c_n}：b₁，a₁，b₂，a₂，b₃，a₃，b₄，a₄，…，记数列{c_n}的前n项和为S_n，已知c₁=1，c₂=2，S₃=

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．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的第2010项c₂₀₁₀；
（3）设T_n=2010•b_n+a_n，阅读框图写出输出项，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，c₁=b₁=1，c₂=a₁=2，再根据S₃可以计算出b2=

1

4

，从而得出等比数列{b_n}的公比，最后根据等差数列和等比数列的通项公式，求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}中各项的特征：{c_n}中的第2k（k为正整数）项即数列{a_n}中的第k项，从而得出c₂₀₁₀=a₁₀₀₅=2010；
（3）由（1）中{a_n}、{b_n}的通项公式，得出Tn=2010•(

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)n-1+2n，得出T_n+1的表达式，通过计算T_n+1与T_n+的差，
发现当n＞5时T_n+1-T_n＞0，{S_n}递增，当n≤5时T_n+1-T_n＜0，{S_n}递减满．由以上分析可得：满足条件T_n＜15的项只有两项：T₆，T₇．

解答：解：（1）由题意，b₁=1，a₁=2，
S3=b1+a1+b2=

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，故b2=

1

4

…（1分）
所以a_n=2n，bn=(

1

4

)n-1…（2分），总计（3分）
（2）数列{c_n}中的第2010项即数列{a_n}中的第1005项，
于是c₂₀₁₀=a₁₀₀₅=2010；…（3分）
（3）由于Tn=2010•(

1

4

)n-1+2n
所以Tn+1=2010•(

1

4

)n+2n+2
∴Tn+1-Tn=-2010•(

1

4

)n-1•

3

4

+2=2-6030•(

1

4

)n
当n＞5时T_n+1-T_n＞0{S_n}递增
当n≤5时T_n+1-T_n＜0{S_n}递减
通过计算T₄=39.41，T₅=17.85，T₆=13.96，T₇=14.49，T₈=16.12
所以满足条件T_n＜15的项只有两项：T₆，T₇…（4分）

点评：本题考查了数列与不等式的综合，以及数列的函数特征，属于难题．深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系，准确运用通项公式，研究数列的单调性，是解决本题的关键．