Question

14．已知直线ax-y+3=0与圆x²+y²+2x-8=0相交于A，B两点，点P（x₀，y₀）在直线2x-y=0上，且|PA|=|PB|，则x₀的取值范围为（-1，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 由题意可得CP垂直平分AB，且 y₀=2x₀．由$\frac{2{x}_{0}-0}{{x}_{0}+1}$•a=-1，解得x₀=$\frac{-1}{2a+1}$，把直线y=ax+3代入圆x²+y²+2x-8=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x₀的取值范围．

解答 解：圆x²+y²+2x-8=0 即 （x+1）²+y²=9，表示以C（-1，0）为圆心，半径等于3的圆．
∵|PA|=|PB|，∴CP垂直平分AB，
∵P（x₀，y₀）在直线y=2x上，∴y₀=2x₀．
又CP的斜率等于$\frac{2{x}_{0}-0}{{x}_{0}+1}$，∴$\frac{2{x}_{0}-0}{{x}_{0}+1}$•a=-1，解得x₀=$\frac{-1}{2a+1}$．
把直线y=ax+3代入圆x²+y²+2x-8=0可得，（a²+1）x²+（6a+2）x+1=0．
由△=（6a+2）²-4（a²+1）＞0，求得 a＞0，或a＜-$\frac{3}{4}$．
∴-1＜$\frac{-1}{2a+1}$＜0，或 0＜$\frac{-1}{2a+1}$＜2．
故x₀的取值范围为 （-1，0）∪（0，2），
故答案为：（-1，0）∪（0，2）．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．