Question

已知曲线S：y=3x-x³及点P（2，2）．
（1）求过点P的切线方程；
（2）求证：与曲线S切于点（x，y）（x≠0）的切线与S至少有两个交点．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求在点（2，2）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先设与曲线S切于点（x，y）的切线方程为：y-y=（3-3x²）（x-x），与曲线S的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别即可求得方程根的个数，从而解决问题．
解答：解：（1）解设切点为（x，y），则y=3x-x³．
又f′（x）=3-3x²，
∴切线斜率k==3-3x²，
即3x-x³-2=（x-2）（3-3x²），
∴（x-1）[（x-1）²-3]=0，
解得x=1或x=1±，
相应的斜率k=0或k=-9±6，
∴切线方程为y=2或y=（-9±6）（x-2）+2．
（2）证明：与曲线S切于点（x，y）的切线方程可设为
y-y=（3-3x²）（x-x），
与曲线S的方程联立，消去y，
得3x-x³-y=3（1-x）•（x-x），
即3x-x³-（3x-x）=3（1-x²）（x-x）．
即（x-x）²（x+2x）=0，则x=x或x=-2x，
因此，与曲线S切于点（x，y）（x≠0）的切线，与S至少有两个交点．
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．