题目内容
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且△ABC的外接圆半径为R,
•
=9.sinB=cosAsinC.
(1)求△ABC的三边的长;
(2)设P是△ABC(含边界)内的一点,P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z.
①写出x、y、z.所满足的等量关系;
②利用线性规划相关知识求出x+y+z的取值范围.
AB |
AC |
(1)求△ABC的三边的长;
(2)设P是△ABC(含边界)内的一点,P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z.
①写出x、y、z.所满足的等量关系;
②利用线性规划相关知识求出x+y+z的取值范围.
分析:(1)设△ABC中的三边分别为a、b、c,由三角形内角和化简sinB=cosAsinC,算出C=
.由此化简,
•
=9,得到b2=9,解出b=3,代入三角形面积公式算出a=4,最后由勾股定理即可算出c的长;
(2)①由三角形面积公式将△ABC的面积分为三块计算,化简得3x+4y+5z=12,即为x、y、z.所满足的等量关系;
②由①化简出x+y+z=
+
(2x+y),设目标函数t=2x+y,并根据不等式画出如图可行域,利用直线平移法解出0≤t≤8,从而可得x+y+z的取值范围.
π |
2 |
AB |
AC |
(2)①由三角形面积公式将△ABC的面积分为三块计算,化简得3x+4y+5z=12,即为x、y、z.所满足的等量关系;
②由①化简出x+y+z=
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1 |
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解答:解:(1)设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC,得sin(A+C)=cosAsinC
∴sinAcosC=0,可得C=
,
又∵
•
=9,得bccosA=9
∴结合ccosA=b,有b2=9,可得b=3.
∵S△ABC=
a•b=6,
∴a=4,
结合c2=a2+b2,得c=5,
即△ABC的三边长a=4,b=3,c=5;
(2)①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC,可得
•3x+
•4y+
•5z=6,
故3x+4y+5z=12.
②x+y+z=x+y+
(12-3x-4y)=
+
(2x+y)
令t=2x+y,依题意有
画出可行域如图
可知当x=0,y=0时tmin=0
当x=4,y=0时,tmax=8,即0≤t≤8
故x+y+z=
+
t的取值范围为[
,4].

由sinB=cosAsinC,得sin(A+C)=cosAsinC
∴sinAcosC=0,可得C=
π |
2 |
又∵
AB |
AC |
∴结合ccosA=b,有b2=9,可得b=3.
∵S△ABC=
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2 |
∴a=4,
结合c2=a2+b2,得c=5,
即△ABC的三边长a=4,b=3,c=5;

(2)①S△PAC+S△PBC+S△PAB=S△ABC,可得
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故3x+4y+5z=12.
②x+y+z=x+y+
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令t=2x+y,依题意有
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画出可行域如图
可知当x=0,y=0时tmin=0
当x=4,y=0时,tmax=8,即0≤t≤8
故x+y+z=
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点评:本题着重考查了向量的数量积、三角形的面积公式、勾股定理的知识,考查了简单的线性规则的知识,属于中档题.解题过程中注意转化化归、数形结合和方程思想的运用.

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