Question

（2013•泗阳县模拟）在等差数列{a_n}中，

a11

a10

  ＜-1，若它的前n项和S_n有最大值，则使S_n取得最小正数的n=

19

．

Answer 1

分析：由题意可知，等差数列{a_n}中a₁＞0，公差d＜0，可将

a11

a10

  ＜-1转化为：

a11+a10

a10

  ＜0，于是a₁₁＜0，a₁₀＞0，由等差数列的前n项和公式可求得S_n取得最小正数的n．

解答：解：∵等差数列{a_n}中，它的前n项和S_n有最大值，

a11

a10

  ＜-1，
∴a₁＞0，公差d＜0，
又将

a11

a10

  ＜-1?

a11+a10

a10

  ＜0，
∴是a₁₁＜0，a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0．

∴S_n=an²+bn中其对称轴n=-

b

2a

=10，
又S₁₉=

(a1+a19)×19

2

=19a₁₀＞0，而S₂₀=

(a10+a11)×20

2

＜0，

1与19距离对称轴n=10的距离相等，

∴S₁=S₁₉．
∴使S_n取得最小正数的n=1或n=19．
故答案为：1或19．

点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和公式，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．