题目内容

以下是关于圆锥曲线的四个命题:
①设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹是双曲线;
②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③双曲线
x2
25
-
y2
9
=1
与椭圆
x2
35
+y2=1
有相同的焦点;
④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切.
其中真命题为______(写出所以真命题的序号).
①不正确.若动点P的轨迹为双曲线,则|k|要小于A、B为两个定点间的距离.当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线.
②正确.方程2x2-5x+2=0的两根分别为
1
2
和2,
1
2
和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
③正确,双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1
有相同的焦点,焦点在x轴上,焦点坐标为(±
34
,0);
④正确;不妨设抛物线为标准抛物线:y2=2px (p>0 ),即抛物线位于Y轴的右侧,以X轴为对称轴.
设过焦点的弦为PQ,PQ的中点是M,M到准线的距离是d.
而P到准线的距离d1=|PF|,Q到准线的距离d2=|QF|.
又M到准线的距离d是梯形的中位线,故有d=
|PF|+|QF|
2

由抛物线的定义可得:
|PF|+|QF|
2
=
|PQ|
2
=半径.
所以圆心M到准线的距离等于半径,
所以圆与准线是相切.
故答案为:②③④
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