Question

(12分) 如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.

Answer 1

.解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.     ……2分
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲线C的方程为+y²="1.                    "                                                                       ……4分
(2)设直线l的方程为y=kx+2,
代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0.
Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞.由图可知=λ

由韦达定理得                   ……6分
将x₁=λx₂代入得

两式相除得            ……8分

                            ①
M在D、N中间，∴λ＜1                                                          ②又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合).
所以，所求的取值范围是.                ……12分

解析