题目内容
已知数列中,
(Ⅰ)求数列的通项;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)若存在,使得成立,求实数的最小值.
(Ⅰ).
(Ⅱ).
(Ⅲ)的最小值是.
解析试题分析:(Ⅰ),①
,②
①-②:,, 2分
即(),又=2,
时,数列是以2为首项,3为公比的等比数列.
,故 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知当时,,
当时,;
当时,,①
,②
①-②得,
=
=
,又也满足
9分
(Ⅲ),由(Ⅰ)可知:
当时,,令,
则,
又,∴
∴当时,单增,∴的最小值是
而时,,综上所述,的最小值是
∴,即的最小值是 13分
考点:等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式,“错位相减法”,不等式恒成立问题。
点评:难题,为确定等差数列、等比数列的通项公式,往往通过建立相关元素的方程组,而达到目的。数列的求和问题,往往涉及“公式法”“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”等。涉及不等式恒成立问题,通过放缩、求和等,得到最值。
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